Question

如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c
由方程x^2-4x-12=0易求得x1=-2,x2=6
将A(-2,0),B(6,0),C(0,-4)代入抛物线得
0=4a-2b+c, 0=36a+6b+c, c=-4
解得 a=1/3, b=-4/3, c=-4
∴抛物线解析式为 y=x^2/3-4x/3-4
（2）设点M坐标为M(m,0),设AM=x,则BM=AB-AM=8-x
∵MN∥BC,∴ AN/AC=AM/AB,
∴|y(N)|/|y(C)|=AN/AC=AM/AB=x/8 => |y(N)|=x/8*|y(C)|=x/2
S△CMN=S△ABC-S△AMN-S△BMC
=1/2*|AB|*|y(C)|-1/2*|AM|*|y(N)|-1/2*|BM|*|y(C)|
=1/2*8*4-1/2*x*x/2-1/2*(8-x)*4
=-x^2/4+2x
=-x/4*(x-8)
上式易知当x=4时,S△CMN取得最小值4
∵AM=x(M)-x(A),∴x(M)=AM+x(A)=4-2=2
∴点M的坐标为M(2,0)
（3）由抛物线易求得D点为D(4,-4)
设抛物线上点E(e,n),x轴上点F(f,0)
则有 n=e^2/3-4e/3-4 (1)
直线AD斜率为k(AD)=(-4-0)/(4+2)=-2/3
□ADEF为平行四边形,则有两种情况：
①AD∥EF,且AF∥DE
即有 n/(e-f)=-2/3, 0=-4-n
可解得 n=-4, e=0, f=-6 (另一解e=4,n=-4与D点重合,舍弃)
即此时点F坐标为F(-6,0)
②AD∥EF,且AE∥DF
即有 n/(e-f)=-2/3, n/(e+2)=(-4-0)/(4-f)
联立可解得 f=8±2√7 （另一解f=-2因与A点重合,舍弃）
即此时F点坐标为F(8±2√7,0)
综上所述,存在3个满足条件的F点,分别为
F1(-6,0),F2(8-2√7),F3(8+2√7)