证明不等式tan/x 大于x/sinx x在0到π/2之间
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x∈(0,π/2)
要证tanx/x>x/sinx
即证sinx/(xcosx)>x/sinx,也就是证(sinx)^2/cosx>x^2.即1/cosx-cosx>x^2
令f(x)=1/cosx-cosx-x^2
f’(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x,
再令g(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x
g‘(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)^2/(cosx)^3
易知1/cosx+cosx>2(1>cosx>0,不等式性质),2(sinx)^2/(cosx)^3>0,所以g'(x)>0.
得出g(x)在0
要证tanx/x>x/sinx
即证sinx/(xcosx)>x/sinx,也就是证(sinx)^2/cosx>x^2.即1/cosx-cosx>x^2
令f(x)=1/cosx-cosx-x^2
f’(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x,
再令g(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x
g‘(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)^2/(cosx)^3
易知1/cosx+cosx>2(1>cosx>0,不等式性质),2(sinx)^2/(cosx)^3>0,所以g'(x)>0.
得出g(x)在0
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