Question

式子转化:y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)

y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx) 原方程可写成dy/dx=y^2/(xy-x^2) 对怎么分离dy/dx和y^2/(xy-x^2) 不明白，能说下吗，谢谢

Answer 1

dy/dx=y^2/(xy-x^2)，分子分母同时除以x^2
即dy/dx=(y/x)^2 / (y/x -1)
这时令y/x=u，
那么y=ux，所以dy/dx=u+x*du/dx，
代入得到u+x*du/dx= u^2/(u-1)，
即x*du/dx=u/(u-1)，
所以(1 -1/u)*du=1/x *dx，
两边积分得到u-lnu =lnx+C，(C为常数)
即u=ln(ux)，带回y/x=u，
故y/x=lny+C，(C为常数) 隐函数也不必再化简了

对于这种可以转换得到dy/dx=f(y/x)形式的微分方程称为齐次方程，
就是要令u=y/x，这样转换来解

追问

其实想问的是y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)，y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2)
这个移项的过程原来不明，不过现在知了，不过也谢谢了

追答

是的，
由y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)得到y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y'
然后y‘=y^2/(xy-x^2)

追问

还有个问题，希望能解答下∫dy/ylny=∫dx/x
解出 ln|lny|=ln|x|+lnc
∫dx/x 解出不是ln|x|+c ？
为什么是 ln|x|+lnc ？

追答

这两种写法都是可以的呢，
你想，c是一个常数，那么lnc当然也是一个常数，
所以
∫dx/x =ln|x|+c
或者写成
∫dx/x =ln|x|+lnc 当然都是可以的

在这里这样写主要就是为了后面的计算方便，
ln|lny|=ln|x|+lnc，两边同时e次幂，
即|lny|=e^(ln|x|+lnc)=c*|x|

如果是写ln|lny|=ln|x|+c的话
就得到|lny|=e^(ln|x|+c)=(e^c) *|x|
看起来麻烦一些

常数是可以变异的，要有这个概念