Question

矩阵AB=BA, A可相似对角化，那么B可以相似对角化吗？A和B的特征值、特征向量相同吗？

Answer 1

A可相似对角化，那么B可以相似对角化吗？
不一定可以，取A=E，B为任意矩阵。易知。
但注意到，如果B可以对角化，那么他和A可同时对角化，即存在可逆矩阵P有P^(-1)AP和P^(-1)BP均为对角矩阵。

A和B的特征值相同吗？
同样取A=E，可很容易构造反例。不一定有相同的特征值。

A和B的特征向量相同吗？
他们的特征向量不一定完全相同，但至少有公共的特征向量。