Question

求极限：limx→0√1+xsinx-1/x²

Answer 1

根据极限的定义，当变量 $x$ 接近于 0 时，$\lim\limits_{x\to0}\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}$ 就是表达式 $\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}$ 在 $x=0$ 处的极限值。
要求出表达式 $\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}$ 在 $x=0$ 处的极限值，我们需要对表达式进行拆分和处理，得到每个部分在 $x=0$ 处的值。
首先，我们将表达式 $1+x\sin x-\frac1{x^2}$ 拆分成三部分：$1+x\sin x$ 和 $-\frac1{x^2}$。
对于 $1+x\sin x$ 这一部分，我们可以利用泰勒展开式来计算：
$$1+x\sin x=1+x\left(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}+\cdots\right)=1+x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+\cdots$$
由于 $x$ 趋近于 0，$x^2$ 趋近于 0，$x^4$ 趋近于 0，以此类推。因此，当 $x$ 趋近于 0 时，$1+x\sin x$ 的值也会趋近于 1。
对于 $-\frac1{x^2}$ 这一部分，我们可以直接计算：
$$-\frac1{x^2}=-\frac1{0^2}=\text{undefined}$$
由于除以 0 是没有意义的，所以表达式 $-\frac1{x^2}$ 在 $x=0$ 处没有定义。
最后，我们将 $1+x\sin x$ 和 $-\frac1{x^2}$ 的值分别代入到表达式 $\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}$ 中，得到：
$$\lim\limits_{x\to0}\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{1+x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+\cdots-\frac1{x^2}}$$
由于 $1+x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+\cdots$ 趋近于 1，而 $-\frac1{x^2}$ 在 $x=0$ 处没有定义，因此表达式 $\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}$ 在 $x=0$ 处的极限值就是 $\sqrt1=1$。
因此，我们得到：
$$\lim\limits_{x\to0}\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}=1$$
也就是说，当变量 $x$ 接近于 0 时，表达式 $\sqrt{1+x\sin x-\frac1{x^2}}$ 的值接近于 1。
希望我的回答能够帮到您。如果您有其他疑问，欢迎再次提问。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

等价无穷小公式

Answer 4