Question

若(a+b)(b+c)(c+a)=0,abc<0且啊,a,b,c中c是最小的数,试说明(a-b)(b-c)(c-a)与0大小关系

Answer 1

解：因abc<0 故a,b,c均不等于0且其中有一个小于0或者三个都小于0
而若a,b,c全小于0则若(a+b)(b+c)(c+a)<0，这与已知矛盾
所以a,b,c中只有一个小于0
又a,b,c中c是最小的数
所以c<0 a>0 b>0 则有a+b>0, b-c>0, c-a<0
因(a+b)(b+c)(c+a)=0
故b+c 与 c+a中至少有一个为0即b与c至少有一个与c是相反数
（1）若a>b则a-b>0
此时(a-b)(b-c)(c-a)<0
(2) 若a<b则a-b<0
此时(a-b)(b-c)(c-a)>0
(3) 若a=b则a-b=0
此时(a-b)(b-c)(c-a)=0

Answer 2

易知a、b、c都不为0且都不为正且都不为负，显然a、b、c中必有两正一负
而c是最小的数，则c<0，a>0，b>0
于是a+b>0，结合条件知b+c=0或c+a=0，即a=-c或b=-c

当a=-c且b≠-c时
(a-b)(b-c)(c-a)=(-c-b)(b-c)(c+c)=-2c(b^2-c^2)
若|b|>|c|，则(a-b)(b-c)(c-a)>0
若|b|<|c|，则(a-b)(b-c)(c-a)<0

当b=-c且a≠-c时
(a-b)(b-c)(c-a)=(a+c)(-c-c)(c-a)=2c(a^2-c^2)
若|a|>|c|，则(a-b)(b-c)(c-a)<0
若|a|<|c|，则(a-b)(b-c)(c-a)>0

当a=-c且b=-c时
因a-b=0
则(a-b)(b-c)(c-a)=0