Question

设f（x）是R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,

有f（x-y）=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)

Answer 1

解答：
利用赋值的方法
f（x-y）=f(x)-y(2x-y+1),
令y=x
则f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1)
∴ f(x)=f(0)+x(x+1)=1+x(x+1)
∴ f(x)=x²+x+1

Answer 2

解：令x=0
f(x-y)=f(-y)=1-y(2x-y+1)
令-y=x
f(x)=1+x(3x+1)

Answer 3

∵对任意实数x,y，f（x-y）=f(x)-y(2x-y+1)均成立
∴不妨令x=y,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1
即f(x)=x(2x-x+1)+1
∴f(x)=x^2+x+1
这是一道抽象函数题（函数方程），解决此类题的方法有赋值法、代换法、柯西法、递归法。
后两种方法一般在竞赛中常用，高考只需要掌握前两种即可。

Answer 4

f(x)=x^2+x+1