已知,如图在△ABC中,∠C=90,AC=BC,点D在BC上,AC+CD=AB,求证:AD是∠BAC的角平分线
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证明:过D点作AB的垂线DM
M是垂足,
因为在△ABC中,∠C=90,AC=BC,即△ABC是等腰三角形
于是∠B=45°,再有DM垂直AB,即有∠DMB=90°
于是∠MDB=180°-∠B-∠DMB=180°-45°-90°=45°=∠B
从而得出△BDM也是等腰三角形
于是BM=DM
如果令AC=x,
那么就有BC=x,AB =√2x
DC=(AC+DC)-AC=AB-AC= √2x-x ①
BD=BC-DC=x-( √2x-x)=2x-√2x
DM=BD/√2=(2x-√2x)/√2=√2x-x ②
注意到①②当中
DC=√2x-x ,DM=√2x-x
于是,就是DC=DM
还有知道了∠DMA=∠DAC=90°,公共边AD=AD
于是△AMD≌△ACD
从而对应角相等
即∠DAM=∠DAC
就是AD是∠BAC的角平分线
M是垂足,
因为在△ABC中,∠C=90,AC=BC,即△ABC是等腰三角形
于是∠B=45°,再有DM垂直AB,即有∠DMB=90°
于是∠MDB=180°-∠B-∠DMB=180°-45°-90°=45°=∠B
从而得出△BDM也是等腰三角形
于是BM=DM
如果令AC=x,
那么就有BC=x,AB =√2x
DC=(AC+DC)-AC=AB-AC= √2x-x ①
BD=BC-DC=x-( √2x-x)=2x-√2x
DM=BD/√2=(2x-√2x)/√2=√2x-x ②
注意到①②当中
DC=√2x-x ,DM=√2x-x
于是,就是DC=DM
还有知道了∠DMA=∠DAC=90°,公共边AD=AD
于是△AMD≌△ACD
从而对应角相等
即∠DAM=∠DAC
就是AD是∠BAC的角平分线
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证明:
依据角平分线的逆定理:
在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上
作辅助线段DE垂直于AB
∵AC=BC 且 ∠C=90°
∴∠B=∠BAC=45°
又∠BED=90°
∴BE=DE
根据勾股定理BD=√2DE
∵AC+CD=AB
∴BC+CD=AB即BD+2CD=AB
又勾股定理AB=√2BC
∴BD+2CD=√2BC=√2(BD+CD)
化简BD=√2CD
根据以上BD=√2DE
∴CD=DE
根据角平分线逆定理可知
AD是∠BAC的角平分线
依据角平分线的逆定理:
在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上
作辅助线段DE垂直于AB
∵AC=BC 且 ∠C=90°
∴∠B=∠BAC=45°
又∠BED=90°
∴BE=DE
根据勾股定理BD=√2DE
∵AC+CD=AB
∴BC+CD=AB即BD+2CD=AB
又勾股定理AB=√2BC
∴BD+2CD=√2BC=√2(BD+CD)
化简BD=√2CD
根据以上BD=√2DE
∴CD=DE
根据角平分线逆定理可知
AD是∠BAC的角平分线
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延长AC至E,使CE=CD,则AE=AC+CD=AB,连接ED并延长交AB于F
∵∠ECD=90°,∴∠CDE=∠CED=45°,∴∠FDB=∠CDE=45°
∵∠B=45°,∴∠AFE=90°,则△AFE也是等腰直角三角形,可证得△ABC≌△AEF,得AC=AF,进一步可得DC=DF,则AD是∠BAC的平分线。
具体的证明你自己完成吧
∵∠ECD=90°,∴∠CDE=∠CED=45°,∴∠FDB=∠CDE=45°
∵∠B=45°,∴∠AFE=90°,则△AFE也是等腰直角三角形,可证得△ABC≌△AEF,得AC=AF,进一步可得DC=DF,则AD是∠BAC的平分线。
具体的证明你自己完成吧
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这道题不单是一道几何题,也需要你有一定的计算能力。解法如下:
过D作AB垂线,交AB与H。
三角形BDH为等腰直角三角形,因此DH=BH
由已知,AB=AC+CD
可推到得AC+CD=AH+HD
可见,只要证明AHD,ACD全等即可。
但需要一些数学计算,如下:
因为角H、C都是直角,有勾股定理知:
HB^2+HA^2=CD^2+CA^2
设HD=x,DC=m,AC=n
则勾股方程可化为:
x^2+(m+n-x)^2=m^2+n^2
整理为:
x^2-x(m+n)+mn=0
化简:
(x-m)(x-n)=0
可知,HD=m或n,但显然,HD小于BC=AC=n
所以HD=m=DC
再次运用勾股定理可算出AH=AC
因此两三角形SSS全等。
过D作AB垂线,交AB与H。
三角形BDH为等腰直角三角形,因此DH=BH
由已知,AB=AC+CD
可推到得AC+CD=AH+HD
可见,只要证明AHD,ACD全等即可。
但需要一些数学计算,如下:
因为角H、C都是直角,有勾股定理知:
HB^2+HA^2=CD^2+CA^2
设HD=x,DC=m,AC=n
则勾股方程可化为:
x^2+(m+n-x)^2=m^2+n^2
整理为:
x^2-x(m+n)+mn=0
化简:
(x-m)(x-n)=0
可知,HD=m或n,但显然,HD小于BC=AC=n
所以HD=m=DC
再次运用勾股定理可算出AH=AC
因此两三角形SSS全等。
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证明:延长AC至E,使CE=CD,连接DE
设AC为单位1,则AB=根号2
AC+CD=AB
所以CD=(根号2)-1
BD=BC-CD=1-((根号2)-1)=2-根号2
CE=CD
在RT等腰△CDE中,角E=45°
所以DE=根号2倍的CD=(根号2)((根号2)-1)=2-根号2
所以DE=BD
AE=AC+CE=AC+CD=AB
所以,△ABD全等于△ADE
角BAD=角DAE
即,AD为角平分线
设AC为单位1,则AB=根号2
AC+CD=AB
所以CD=(根号2)-1
BD=BC-CD=1-((根号2)-1)=2-根号2
CE=CD
在RT等腰△CDE中,角E=45°
所以DE=根号2倍的CD=(根号2)((根号2)-1)=2-根号2
所以DE=BD
AE=AC+CE=AC+CD=AB
所以,△ABD全等于△ADE
角BAD=角DAE
即,AD为角平分线
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