Question

大学数学线性代数与解析几何

请教过程，谢谢！

Answer 1

证明一个矩阵A可逆，从以下角度看：

1. 证明满秩

2. 证明行列式不为0

3. 找到一个矩阵B,使得AB=I

这题两小问都要求证明一个矩阵是另外一个矩阵的逆，所以只需要证明他要求证明的互逆矩阵的乘积为I

第1小题，记等号右边的矩阵为B

只需证明AB=I（则|A||B|=|AB|=|I|=1,故A行列式非0，从而A可逆，从而A的逆就是B）

A1，A2。。可逆的作用是保证了B的存在性

证明AB=I用到分块矩阵的乘法.

A是对角分块矩阵，那么A1，A2.。皆是方阵.

分块矩阵乘法和普通矩阵乘法的形式是一样的，结果矩阵的第ij块，是A的第i行和B的第j列对应矩阵相乘之和. 你会发现结果矩阵也是分块对角矩阵，且对角线上的每一个块都是Ai*Ai逆，也即单位矩阵。

所以合在一起是个大的单位矩阵。

如果上述过程看得清楚，相信第二小题你也能轻松地做出~（将等号右边的矩阵视为B，左边忽略逆的符号的那个矩阵视作A）

若有问题欢迎继续提问，望采纳~