Question

一道高二数学题，求高手来解答，关于抛物线的

过点A（-2，-4）做倾斜角45度的直线，交抛物线y2＝2px（p＞0）于M，N两点，且AM，MN，AM成等比数列，求抛物线方程。
希望解题步骤清晰
是AM，MN，AN成等比数列，前面打错了！

Answer 1

解：依题意，得直线方程为y=x-2，设M点坐标（X1,X1-2),N点坐标为（x2,x2-2)
又因为直线交于抛物线于M,N两点,所以联合方程y=x-2，y^2＝2px,即（x-2)^2=2px
得x^2-(4+2p)X+4=0,x1+x2=4+2p,x1x2=4,利用两点间公式可得AM=（根号2）（x1+2)
AN=(根号2）（ x2+2) ， 利用弦长公式得,MN^2=32p+8p^2,又因为AM，MN，AN成等比数列，
所以,MN^2=AMxAN,即32p+8p^2=（根号2）（x1+2)(根号2）（ x2+2)
化简得（p+4)(p-1)=o,又因为p>0,所以 p=1
所以抛物线方程为y^2＝2x

Answer 2

倾斜角45度的直线斜率为1，所以直线方程可设为y=x+b
将A点坐标代入直线方程-2x+b=-4,所以
b=-2
所以直线y=x-2，代入抛物线方程y^2=2px
整理得
x^2-(4+2p)x+4=0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4+2p........1
x1x2=4....................2

AM=[X1-(-2)] / cos45=(根号2)（x1+2）
MN=｜X2-X1｜ / cos45=(根号2)｜x2-X1｜

AM=[X2-(-2)] / cos45=(根号2)（x2+2）
由题目上，MN*MN=AM*AN
2(x2-X1)^2=(根号2)（x2+2）*(根号2)（x2+2）
即(x1-x2)^2=x1x2+2(x2+x1)+4
将1、2式代入上式，得P=1或者
P=-3，由p>0得p=1
y2＝2x