Question

已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的x,y∈R，等式f(x)f(y)=f(x+y)成立．

Answer 1

问题在哪里呢?
解这类题关键是这里:
等式f(x)f(y)=f(x+y)
成立
令x=y=0带入得到
f(0)f(0)=f(0)
所以f(0)(f(0)-1)=0
假如f(0)=
0;
那么对任意x
f(x)f(0)=f(0+x)=f(x)=0
,而x1
矛盾
所以f(0)=1
令x>0,那么-x<0
f(-x)>1
又f(x)f(-x)=f(0)=1
所以0<
f(x)=1/f(-x)<1
现在判断单调性:
任取x1
1
f(x2)f(x1-x2)=f(x1)
所以f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)>1
f(x1)>f(x2)
f(x)是递减函数