Question

求幂级数(-1)^n（2n+1）x^2n-1的和函数

求幂级数(-1)^n（2n+1）x^2n-1的和函数

Answer 1

令F(x)=∑(n=0->∞) (-1)^n*(2n+1)*x^(2n-1)

x^2*F(x)=∑(n=0->∞) (-1)^n*(2n+1)*x^(2n+1)
上式两边对x求导
[x^2*F(x)]'=∑(n=0->∞) (-1)^n*x^(2n)
=∑(n=0->∞) (-x^2)^n
=1/(1+x^2)，其中x^2<1，-1<x<1
x^2*F(x)=arctanx+C，其中C是任意常数
当x=0时，0=0+C，即C=0

x^2*F(x)=arctanx
F(x)=(1/x^2)*arctanx
综上所述，当x=0时，F(0)=0，当-1<x<0或0<x<1时，F(x)=(1/x^2)*arctanx