Question

已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b)

已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且m⊥n。 ①求角C。
②若向量s=（0，-1）t=（cosA，2cos²(B\2))。求丨s+t丨取值范围。
第一问答案为60.求第二问怎么做

Answer 1

说明：以下s、t均表示向量

因(|s+t|)^2=(s+t)^2=s^2+t^2+2s • t =|s|^2+|t|^2)+2s • t
而|s|^2=0^2+(-1)^2=1
|t|^2=cos^2(A)+[2cos^2(B/2)]^2=cos^2(A)+(1+cosB)^2
且s • t =0•cosA+(-1)•[2cos^2(B/2)]=-(1+cosB)
则|s+t|^2=1+cos^2(A)+(1+cosB)^2-2(1+cosB)
=cos^2(A)+cos^2(B)
=(1/2)[(2cos^2(A)-1)+(2cos^2(B)-1]^2+1
=(1/2)(cos2A+cos2B)+1
=cos(A+B)cos(A-B)+1
又A+B=180°-C=120°
所以(|s+t|^2)=cos120°cos(A-B)+1=1-(1/2)cos(A-B)
显然0≤A-B<180°
即有-1<cos(A-B)≤1
即有0≤1-cos(A-B)<2
即有0≤|s+t|^2<2
即有0≤|s+t|<√2

追问

答案不对、二分之根二到二分之根五左闭右开= =

追答

确实有问题。一是没考虑C=60°，二是把1-(1/2)cos(A-B)看成了1-cos(A-B)

更正如下：
......
所以(|s+t|^2)=cos120°cos(A-B)+1=1-(1/2)cos(A-B)
后面的分析是：
因C=60°
则-120°<A-B<120°
即有-1/2<cos(A-B)≤1
即有-1/4<(1/2)cos(A-B)≤1/2
即有-1/2≤-(1/2)cos(A-B)<1/4
即有1/2≤1-(1/2)cos(A-B)<5/4
即有1/2≤|s+t|^2<5/4
即有√2/2≤|s+t|<√5/2