Question

已知抛物线y=x²+mx-3/4m²（m>0）与x轴交于A、B两点

（3）设抛物线与y轴的交于点C,若△ABC是直角三角形,求△ABC的面积
请勿用 三角形相似 本人没学

Answer 1

显然C(0,-3/4m^2)（y轴截距）
令x^2+mx-3/4m^2=0，A(x1,0)，B(x2,0)
则由韦达定理有
x1+x2=-m（I）
x1x2=-3m^2/4（II）

由斜率公式有
kac=3m^2/4x1
kbc=3m^2/4x2
因△ABC是直角三角形，易知kac*kbc=-1
即(3m^2/4x1)*(3m^2/4x2)=-1
即x1x2=-(3m^2/4)^2（III）
由（II）（III）得-(3m^2/4)^2=-3m^2/4
解得m^2=4/3，即m=±2√3/3

所以S△ABC=1/2*|AB|*|OC|
=1/2*|x1-x2|*|-3/4m^2|
=1/2*√[(x1+x2)^2-4x1x2]*1
=1/2*√[(-m)^2+4*3m^2/4]
=2√3/3

Answer 2

y=x²+mx-3/4m²=（x-m/2)(x+3m/2)所以抛物线y=x²+mx-3/4m²（m>0）与x轴交于A（m/2，0）)、B(-3m/2，0)两点,，交y轴于C（0，-3/4m²）所以三角形ABC面积为（OA+OB)OC/2=(m/2+3m/2)|-3/4m²|/2=3m^3/4

Answer 3

解：令y=0，0=ax²+bx+c方程的两根分别为x1和x2，设A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2,0）。x1与x2的关系如下：x1+x2=-b/a; x1x2=c/a。│x1-x2│=√(b/a)²-4c/a
第一、依题可知，抛物线顶点在直线y=-1上，a>0。
由三角形ABC是直角三角形，且与X轴交与A、B两点，则有点A和B分布在Y轴两侧，且有 c<0。
由勾股定理得：│AB│²=│AC│²+│BC│²进而得到(x1)²+c²+(x2)²+c²=(x1-x2)²，2c²=-2x1x2=-2c/a。即有ac=-1。
第二、由最小值y=-1得到：令x=-b/2a,则有-b²/(4a²)+c=-1，
第三、三角形ABC的面积为S=1/2│x1-x2│(-c)
综上化简得到S=-c/2a√b²-4ac=-c/2a√4a²(1+c)-4ac=-c/2a√4a²-4a+4=-c√1+c+c² , -1=<c<=0。
现对S进行求导，S‘=(4c³+3c²+2c)/(-2c)√(c²+c+1)=(4c²+3c+2)/(-2)√(c²+c+1)；
由于4c²+3c+2在-1=<c<=0上恒大于0，所以S’恒小于0，所以S在-1=<c<=0为减函数，即当c=-1时，S最大为1。