Question

一道数列数学题

设数列|an|的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．
（I）求证：|an|是首项为1的等比数列；
（II）若a2＞﹣1，求证：Sn≤n/2(a1＋an)，，并给出等号成立的充要条件
第二题不会做 这是2012重庆高考压轴题 答案也没看懂

Answer 1

（1）S2=a2S1+a1 S2=a1+a2 S1=a1 所以a1+a2=a2a1+a1 a2(a1-1)=0 a2≠0
所以a1=1首项为1
a(n+1)=S(n+1)-S(n)=a2S(n)+a1-a2S(n-1)-a1=a2[S(n)-S(n-1)]=a2a(n)
a(n+1)/a(n)=a2 等比数列

(2)设a2=q>-1,知an=q^(n-1)
a(k+1)+a(n-k)=q^k+q^(n-k-1)=1+q^(n-1)+q^k+q^(n-k-1)-1-q^(n-1)=a1+an-(1-q^k)(1-q^(n-k-1))
对0≤k≤(n-1)考察p=(1-q^k)[1-q^(n-k-1)]的符号
若-1<q<1 ，则 1-q^k>0 1-q^(n-k-1)>0 有p>0
q=1 则p=0
若q>1,则 1-q^k<0 1-q^(n-k-1)<0 有p>0
所以a(k+1)+a(n-k)≤a1+an
所以a1+an≤a1+an
a2+a(n-1)≤a1+an
a3+a(n-2)≤a1+an

. ............................
a(n-1)+a(2)≤a1+an

an+a1≤a1+an

求和既得 2Sn≤n(a1+an)
所以Sn≤n/2(a1＋an)
等号成立需要对0≤k≤(n-1)有(1-q^k)(1-q^(n-k-1))=0 有上面的分析e=只能是q=1

反过来若q=1,则a1=a2=........=an=1 ,Sn=n=n/2(a1＋an)
所以等号成立充要条件是公1（或{an}是常数数列）

Answer 2

证明：（I）∵Sn+1=a2Sn+a1，①
∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②
①-②可得：an+2=a2an+1
∵a2≠0，∴an+2 an+1 =a2
∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1
∵a2≠0，∴a1=1
∴{an}是首项为1的等比数列；
（II）当n=1或2时，Sn=n 2 (a1+an)等号成立
设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（I）知a1=1，an=a n-12 ，所以要证的不等式可化为
1+a2+… +a2n-1≤n 2 (1+a2n-1)（n≥3）
即证1+a2+… +a2n≤n+1 2 (1+a2n)（n≥2）
a2=1时，等号成立
当-1＜a2＜1时，a2n-1与a2n-1-1同为负；
当a2＞1时，a2n-1与a2n-1-1同为正；
∴a2＞-1且a2≠1时，（a2n-1）（a2n-1-1）＞0，即a2n+a2n-1＜ 1+a2n
上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得2(a2+… +a2n-1)＜(n-1)(1+a2n)
∴1+a2+… +a2n≤n+1 2 (1+a2n)
综上，Sn≤n 2 (a1+a2)，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．

追问

（a2n-1）（a2n-1-1）＞0，即a2n+a2n-1＜ 1+a2n 这部貌似错了吧 乘出来不是这样的

Answer 3

我大学都快毕业了 忘得差不多。