Question

求函数y=loga(x-x²) (a>0,a≠1)的值域及单调区间 (a是底数）

Answer 1

，函数的定义域为（0,1）当a>1时y=logaF是增函数F(x)=x-x²在（0，1/2)上单调递增，在(1/2,1)单调递减，y=loga(x-x²) 在（0，1/2)上单调递增，在(1/2,1)单调递减；此时值域为（负无穷，loga(1/2))；当0<a<1时，y=logaF是减函数F(x)=x-x²在（0，1/2)上单调递减，在(1/2,1)单调递增，y=loga(x-x²) 在（0，1/2)上单调递减，在(1/2,1)单调递增，此时值域为（loga(1/2)，正无穷）；（运用复合函数单调性判断方法：内外函数单调性相同，则复合函数单调增，单调性相反，则复合函数单调减）

Answer 2

令u=x-x²，则y=logau 令u＞0
得0＜x＜1
u=x-x²=-（x-1/2）²+1/4≤1/4，即0＜u≤1/4，对称轴x=1/2
当a＞1时，logau=loga(x-x²)≤loga1/4
当x属于（1/2,1）时u是减函数，y=logau 是增函数，即y=loga(x-x²)是减函数，
当x属于（0,1/2）时u是增函数，y=logau 是增函数，即y=loga(x-x²)是增函数
当a＞1时，logau=loga(x-x²)≥loga1/4
当x属于（1/2,1）时u是减函数，y=logau 是减函数，即y=loga(x-x²)是增函数，
当x属于（0,1/2）时u是增函数，y=logau 是减函数，即y=loga(x-x²)是减函数。