Question

数学，泰勒公式，有人知道泰勒公式是怎么推导出来的吗？

比如三角函数是通过直角三角形的边的比值推导过来的，很容易理解，但泰勒公式我就不懂了
教材里也没有找到推导过程
各种三角函数和指数函数的展开公式我是知道的，但泰勒公式的本身是怎么推导来的我不知道

Answer 1

函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数,我们希望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值,容易确定这个多项式就是
Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.
确定Pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项
Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0之间）,这需要用n+1次柯西中值定理,教科书上都有详细的证明,可参阅同济高等数学第五版上册p138、p139页.

Answer 2

函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数，我们希望找到一个n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值，容易确定这个多项式就是
pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.

Answer 3

如果你不是数学专业的背背公式就足够用了，不说我们，哪怕很多非数学专业的博士教授也推不出来的，毕竟这是一个数学家几乎一生的心血，你几天就想搞得清楚，怎么可能呢。

Answer 4

数学，理工学科，高考，学习

Answer 5

函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数，我们希望找到一个n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值，容易确定这个多项式就是.函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数，我们希望找到一个n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值，容易确定这个多项式就是.