Question

设F(x)在x=0处连续，已知当x趋近于0时，lim(1+f(x)/x)^1/sinx=e^2,求当x趋近于0时，limf(x)/x^2

Answer 1

解
F(x)在x=0处连续
x→0，1/sinx~1/x
lim(1+f(x)/x)^1/sinx
=lim(1+f(x)/x)^1/x
=lim(1+f(x)/x)^x/f(x)*f(x)/x*1/x
=e^limf(x)/x^2
=e^2
所以limf(x)/x^2=2

不理解请追问

Answer 2

解：
x→0，lim[1+f(x)/x]^(1/sinx)=e²
x→0，lim[1+f(x)/x]^(1/x)=e²
x→0，lim[1+f(x)/x]^(1/x)=e²
又x→0，lim[1+√x]^(1/x)=e²
所以f(x)/x=√x
得f(x)=x√x
故x→0，limf(x)/x²=lim(x√x)/x²=lim1/√x=∞

答案：∞

追问

不会吧，答案是2呀！我就是对那个f(x)=0处连续的条件不知道怎么用，其余的都ok.

追答

解：
x→0，lim[1+f(x)/x]^(1/sinx)=e²
x→0，lim[1+f(x)/x]^(1/x)=e²
x→0，lim[1+f(x)/x]^(1/x)=e²
又x→0，lim(1+2x)^(1/x)=e²
所以f(x)/x=2x
得f(x)=2x²
故x→0，limf(x)/x²=lim2x²/x²=2

答案：2

追问

解法和我的类似，但是对于那个f(x)=0连续的条件还是没有用到（题目给的条件总不会没用的吧，肯定对后面的解题有关系的）。不过还是要谢谢您的解答！