Question

求解一道高数题....

a>0 , f(x)在[0,3a]连续，在(0,3a)可导。已知f(a)=f(3a)<f(0)<f(2a) , 证明 至少存在 一个 ξ∈(0,2a) 使得 f '(ξ)=f ' (ξ+a)。

Answer 1

设g(x)=f(x)-f(x+a),则g(x)在[0.2a]连续，在(0,3a)可导
则g(0)=f(0)-f(a)>0
g(a)=f(a)-f(2a)<0
g(2a)=f(2a)-f(3a)>0
所以存在ξ1∈(0,a)使g(a)-g(0) = g'(ξ1)a
则g'(ξ1)<0
存在ξ2∈(a,2a)使g(2a)-g(a)=g'(ξ2)a
则g'(ξ2)>0
所以存在ξ∈(ξ1，ξ2)使g'(ξ）= 0
即f'(ξ)=f'(ξ+a)