Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-4,4).

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-4,4).将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，定点在坐标原点的抛物线经过点B.
⑴求抛物线的解析式和点C的坐标
⑵抛物线上一动点P.设点P到X轴的距离为d1，点p到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；

⑶在⑵的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。

Answer 1

(1) 抛物线的顶点在原点, 设抛物线的解析式: y = ax²
过点B(-4, 4): 4 = a*(-4)², a = 1/4
y = x²/4
AB² = (-4 - 0)² + (4 - 1)² = 25 = AC²
AB的斜率k = (4-1)/(-4 - 0) = -3/4
AC的斜率= -1/k = 4/3
AC的解析式: y = 4x/3 + 1
设C(c, 4c/3 + 1), c > 0

AC² = 25 = (c - 0)² + (4c/3 + 1 -1)²
c = 3
C(3, 5)

(2)

设P(p, p²/4)
d1 = p²/4
d2 =√[(p -0)² + (p²/4 - 1)²] = √(p²/4 + 1)² = p²/4 + 1 = d1 + 1

(3)P在AC的中垂线上时，周长有最小值, 中垂线斜率 = -3/4
AC的中点D(3/2, 3)
DP的解析式: y - 3 = (-3/4)(x - 3/2)
联立得 p = (√23 - 1)/2（舍去另一值)
P((√23 - 1)/2, (12-√23)/8)