Question

一道数学问题，帮忙解决一下，谢谢

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2(b-1)x^2+cx(b,c为常数）。
1.若f(x)在x=1,x=3处取得极值，求b,c的值（这个我会b=-3c=3）
2.若f(x)在（负无穷，x1）（x2，正无穷）上单调递增且在（x1，x2）上单调递减，又满足x2-x1>1求证b^2>2(b+2c)
3.在2的条件下，若t<x1试比较t^2+bt+c与x1的大小，并加以证明
(第三个问，我完全理不出个头绪啊)

Answer 1

分析：先对函数求导可得f′（x）=x^2+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3时，f′（x）=x^2-4x+3=（x-1）（x-3）根据导数的知识可求

（2）f'（x）=x^2+（b-1）x+c，由x1，x2为x^2+（b-1）x+c=0的两根,

而|x1-x2|=根号【(x2+x1)^2- 4x1x2 】，结合方程的根与系数的关系可证b^2＞2（b+2c）

（3）要比较t^2+bt+c与x1的大小．只需比较t^2+bt+c-x1与0的大小，由（2）可得x^2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2）则可得t^2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1=（t-x1）（t-x2+1），再由x2-x1＞1，可得x2＞1+x1＞1+t，从而有t-x2+1＜0，从而可证

解：f′（x）=x^2+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3时，f′（x）=x^2-4x+3=（x-1）（x-3）
根据导数的知识可得，y极大=f(1)=4/3 ，y极小=f(3)=0

（2）f'（x）=x^2+（b-1）x+c 由题意可得x1，x2为x^2+（b-1）x+c=0的两根，
而|x1-x2|=x2-x1=根号【 (b-1)^2-4c 】＞1从而可证

（3）由于x^2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2），则可得

t^2+bt+c=（t-x1）（t-x2）+t，
t^2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1=（t-x1）（t-x2+1），
结合已知可证（t-x1）（t-x2+1）＞0，即证

数不胜数团队为您解答，望采纳O(∩_∩)O~

Answer 2

第二问从求根公式入手即可证明。
对于第三问，鉴于这种情况建议你再将题目重新看一遍是否看错题什么的，之后有什么问题还可以提问，希望能帮到你！