Question

已知p是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点,f1f2是其左右焦点∠f1pf2=θ,求△f1pf2的

a＞b＞0

Answer 1

是不是求△F1PF2的面积，求面积如下：
S=0.5·PF1·PF2·sinθ，所以PF1·PF2=2S，由余弦定理，得
F1F2²=PF1²+PF2²-2PF1·PF2·cosθ=PF1²+PF2²-2·PF1·PF2·cosθ
=(PF1+PF2)²-2(1+cosθ)·PF1·PF2=(PF1+PF2)²-4·S·(1+cosθ)/sinθ
注意到PF1+PF2=2a，F1F2=2c，所以4·S·(1+cosθ)/sinθ=(PF1+PF2)²-F1F2²=4a²-4c²=4b²，
所以解得S=b²sinθ/(1+cosθ)，到这里当然你可以进一步化简，根据半角公式
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα，得S=b²sinθ/(1+cosθ)=b²tan(θ/2)。

Answer 2

由椭圆定义有
|PF1|+|PF2|=2a（I）
由余弦定理有
|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cosθ（II）
注意到|F1F2|=2c，a^2=b^2+c^2
将（I）式两边平方后，与（II）相减得
|PF1||PF2|=2b^2/(1+cosθ)（*）

过P向x轴作垂线，设垂足为H
令PF1与F1F2夹角为Ф（对边为PF2），则sinФ=|PH|/|PF1|（III）
由正弦定理有
|F1F2|/sinθ=|PF2|/sinФ（IV）
注意到|F1F2|=2c,，由（III）（IV）得
|PH|=|PF1||PF2|sinθ/(2c)（**）

由三角形面积公式，并结合（*）（**）有
S⊿F1PF2=1/2*|F1F2|*|PH|
=1/2*(2c)*[2b^2/(1+cosθ)*sinθ/(2c)]
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/[2cos^2(θ/2)]
=b^2*tan(θ/2)