Question

矩阵A乘以它的转置矩阵后得到的矩阵B的秩等于A的秩，为什么？ 即若B=A^T A，求证：R(B)=R(A).

Answer 1

A是实矩阵时结论成立.

证明思路:
齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解.

先自己试证, 哪卡住来追问

追问

刘老师，证的出前者的解是后者的解，但证不出后者的解也是前者的解。

追答

若X1是后者的解
则 A^TAX1=0
等式两边左乘 X1^T 得
(AX1)^T(AX1)=0
所以 AX1=0
所以 X1 也是前者的解

Answer 2

这个结论的前提是A是实矩阵
可以通过方程Ax=0和A^TAx=0同解来证明

当然，如果你知道奇异值分解的话更简单