Question

已知函数f(x)＝2x+bx+c，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．？

Answer 1

解题思路：（1）由f（1）=4，f（2）=5列一方程组即解得；
（2）利用增函数及减函数的定义即可证明、判断单调性；
（3）借助（2）问的结论即可求得．
（1）由f（1）=4，f（2）=5，
得

2+b+c＝4
4+
b
2+c＝5，即

b+c＝2

b
2+c＝1，解得b=2，c=0；
所以b=2，c=0．
（2）由（1）知：f（x）=2x+[2/x]，设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=（2x1+
2
x1）-（2x2+
2
x2）=
2(x1−x2)(x1x2−1)
x1x2，①
因为0＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，x1x2-1＜0，x1x2＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，1）上是减函数；
当1＜x1＜x2时，x1-x20，由①式得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知f(x)＝2x+
2
x在[
1
2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f（x）min=f（1）=4．又f(
1
2)＝5，f(3)＝
20
3，
∴f(x)max
,1,已知函数 f(x)＝2x+ b x +c ，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．
（1）求b，c值；
（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）求函数 y＝f(x)，x∈[ 1 2 ，3] 的值域．