Question

设数列an的前n项和为Sn，已知a1=a，a（n+1）=Sn+3^n

若a(n+1)>=an,n∈N+,求a的取值范围
求非常详细的解答 谢谢

Answer 1

解答：
a(n+1)=Sn+3^n
S(n+1)-S(n)=S(n)+3^n
S(n+1)=2S(n)+3^n
S(n+1)-3^(n+1)=2[S(n)-3^n)]
所以，{S(n)-3^n}是等比数例
首项为S1-1=a-3, 公比是2
S(n)-3^n=(a-3)*2^(n-1)
S(n)=3^n+(a-3)*2^(n-1)
(1) n=1. a1=a
(2) n≥2， an=S(n-1)+3^(n-1)=3^(n-1)+(a-3)*2^(n-2)+3^(n-1)
an=2*3^(n-1)+(a-3)*2^(n-2)
∵ a(n+1)≥an
∴ a2≥a1,且2*3^(n)+(a-3)*2^(n-1)≥ 2*3^(n-1)+(a-3)*2^(n-2) (n≥2)
（1） a2≥a1
则 6+(a-3)≥a，显然成立
（2）2*3^(n)+(a-3)*2^(n-1)-[2*3^(n-1)+(a-3)*2^(n-2)]≥0
4*3^(n-1)+(a-3)*2^(n-1)≥0
4*(3/2)^(n-1)+(a-3)≥0
∴ 4*(3/2)^(n-1)+(a-3)≥0 (n≥2)
∴ 4*(3/2)+(a-3)≥0
8+a-3≥0
∴ a≥5

追问

可是第二问答案是错的。。。

可是第二问答案是错的。。。

追答

最后一步错了
a≥-5

追问

可是答案是a≥-9

追答

好像有计算错误，
（2）2*3^(n)+(a-3)*2^(n-1)-[2*3^(n-1)+(a-3)*2^(n-2)]≥0
4*3^(n-1)+(a-3)*2^(n-2)≥0 （这步原来错了）
4*(3/2)^(n-1)+(a-3)/2≥0
∴ 4*(3/2)^(n-1)+(a-3)/2≥0 (n≥2)
即 4*(3/2)^(n-1)+(a-3)/2的最小值≥0
当n=2时4*(3/2)^(n-1)+(a-3)/2取得最小值
∴ 4*(3/2)+(a-3)/2≥0
12+a-3≥0
∴ a≥-9

Answer 2

a(n+1)=s(n)+3^n ; a(n)=s(n-1)+3^(n-1)
相减得a(n+1)=2*a(n)+2*3^(n-1)
a(n+1)-2*3^n=2(a(n)-2*3^(n-1))
a1=a
通项公式an=(a-2)*2^(n-1)+2*3^(n)
a2=2a-4+18=2a+14>=a1=a
a>=-14