Question

为什么伴随矩阵乘以原矩阵等于原方阵的行列式乘以单位矩阵?

Answer 1

因为行列式A的第i行(或列)与其它行(或列)对应的代数余子式的积=0。

矩阵A的伴随矩阵A*是A的各个元的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵。

A与A*相乘得一新矩阵为对角矩阵。

主对角线上所有元为|A|，其它元为0。

所以AA*=|A|E。

同样，A*A=|A|E。

扩展资料

定理设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

令A为n×n矩阵。

若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

Answer 2

还记得行列式的代数余子式的概念和性质吧。
行列式A的元aij的代数余子式Aij
行列式A的第i行(或列)与它对应的代数余子式的积=|A|
行列式A的第i行(或列)与其它行(或列)对应的代数余子式的积=0
矩阵A的伴随矩阵A*是A的各个元的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵
A与A*相乘得一新矩阵为对角矩阵，
主对角线上所有元为|A|，其它元为0，
所以AA*=|A|E
同样，A*A=|A|E
难理解，仔细想一想就通了。