Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE． （1）DE与半圆O相切

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD=4、AB=6，求直角边BC的长．

Answer 1

1、证明：
∵OA＝OD
∴∠BAC＝∠ODA
∵E是BC的中点
∴BE＝CE
∵OA＝OB
∴OE是△ABC的中位线
∴OE∥AC
∴∠BOE＝∠BAC，∠DOE＝∠ODA
∴∠BOE＝∠DOE
∵OB＝OD，OE＝OE
∴△BOE≌△DOE （SAS）
∴∠ODE＝∠ABC
∵∠ABC＝90
∴∠ODE＝90
∴DE与半圆O相切于D
2、解：连接BD
∵直径AB
∴∠ADB＝90
∴∠ADB＝∠ABC
∵∠BAC＝∠DAE
∴△ABD∽△ACB
∴AD/AB＝AB/AC
∴4/6＝6/AC
∴AC＝9
∴BC＝√（AC²-AB²）＝√（81-36）＝3√5

Answer 2

1、证明：
∵OA＝OD
∴∠BAC＝∠ODA
∵E是BC的中点
∴BE＝CE
∵OA＝OB
∴OE是△ABC的中位线
∴OE∥AC
∴∠BOE＝∠BAC，∠DOE＝∠ODA
∴∠BOE＝∠DOE
∵OB＝OD，OE＝OE
∴△BOE≌△DOE （SAS）
∴∠ODE＝∠ABC
∵∠ABC＝90
∴∠ODE＝90
∴DE与半圆O相切于D
2、解：连接BD
∵直径AB
∴∠ADB＝90
∴∠ADB＝∠ABC
∵∠BAC＝∠DAE
∴△ABD∽△ACB
∴AD/AB＝AB/AC
∴4/6＝6/AC
∴AC＝9
∴BC＝√（AC²-AB²）＝√（81-36）＝3√5