Question

线性代数，为什么说“当齐次方程组有非零解的时候，有无穷多个解”？

Answer 1

1、当齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一解，且因为齐次线性方程组常数项全为0，所以唯一解即是零解。

2、当齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n，方程组有无数多解，从而有非零解。

故当齐次方程组有非零解的时候，就有无穷多个解。

齐次线性方程组解的性质：

1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

2、若x，y是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x+y也是它的解。

3、对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

扩展资料：

齐次线性方程组的判定定理：

1、齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

2、齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。

参考资料来源：百度百科-齐次方程组