Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．

Answer 1

（1）因为△ABC为等腰Rt△ABC，F是AB边上的中点
所以AF=CF=BF，∠A=∠FCB=45度
又因为AD=CE，所以△ADF≌△CEF（两边夹一角）
（2）因为△ADF≌△CEF
所以DF=EF（即△DFE是等腰三角形），且∠AFD=∠CFE
又因为△ABC为等腰Rt△ABC，F是AB边上的中点
所以CF垂直于AB，即∠AFC=90度
而∠AFC=∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90度
所以△DFE是等腰直角三角形

Answer 2

(1)∵∠ACB=90°，AC=CB
F是AB边上的中点
∴∠A=∠B=45°
∵F是AB边上的中点
∴CF⊥AF, ∠ACF=45°
∴AF=CF
又AD=CE, ∠DAF=∠ECF=45°
∴△ADF≌△CEF

(2) ∵△ADF≌△CEF
∴DF=EF, ∠AFD=∠CFE
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE +∠CFD=90°
∴△DFE是等腰直角三角形