Question

已知圆(x-2)^2+(y-2)^2=1 求x+2y的范围

Answer 1

解答：
可以利用三角代换的方法
圆(x-2)^2+(y-2)^2=1
设 x-2=cosA ,y-2=sinA
则 x=2+cosA,y=2+sinA
∴ x+2y
=2+cosA+4+2sinA
=6+2sinA+cosA
=6+√5sin(A+∅)
∴ x+2y的最大值为6+√5，最小值为6-√5
即 x+2y的范围是[6-√5,6+√5]

追问

真是太感谢您了，不过还有其他方法吗？能用方程的方法求解吗？
也谢谢楼下的了。

追答

解答：
可以啊,比较麻烦
令x+2y=t
则 x=t-2y
代入圆的方程(x-2)^2+(y-2)^2=1
∴ (t-2y-2)^2+(y-2)^2=1
∴ [2y-(t-2)]^2+(y-2)^2=1

5y²-(4t-4)y+(t-2)²-1=0
∴ 判别式=(4t-12)²-20(t²-4t+3)≥0
∴ (2t-2)²-5(t²-4t+3)≥0
t²-12t+11≤0
(t-6)²≤25
∴ 6-√5≤t≤6+√5

追问

麻烦问一下：Δ为什么不能小于零呢？

追答

因为必须有y值，所以方程有解，所以判别式≥0

Answer 2

这是一个以（2,2)为圆心，以1为半径的圆，画图可直观看出，1<=x<=3,1<=y<=3,则2<=2y<=6,那么x+2y范围就是[3,9]。

Answer 3

由题知x,y的范围都为[1,3].故x,y的最小值都为1，最大值都为3
所以1+1*2<=x+2y<=3+3*2
为3<=x+y<=9

Answer 4

我们就令x+2y=b吧
x+2y=b化为y=-x/2+b/2
那么题目就是求有直线y=-x/2+b/2与圆(x-2)^2+(y-2)^2=1 有交点时
直线y=-x/2+b/2在y轴上的截距b/2的两倍的范围
而范围的上下限分别在直线与圆相切的时候的直线的截距
相切就是圆心（2,2）到直线x+2y-b=0距离等于半径1
就是|2+4-b|/√(1+2²）=1
化简就是
|b-6|=√5
从而解得
b=6-√5
或b=6+√5
于是x+2y=b的范围就是
【6-√5，6+√5】

Answer 5

可以用参数方程求解
因为(x-2)^2+(y-2)^2=1
所以可以令
x=cosx+2
y=sinx+2
于是
x+2y=(cosx+2)+2(sinx+2)=6+cosx+2sinx=6+√5cos(x+b)∈[6-√5,6+√5]