Question

a为n阶行列式，余子式等于 代数余子式有多少个？

Answer 1

n阶行列式有n²个元素，任意一个元素aij（i.j为下标，i,j∈[1,n]的任意整数，以下同）都有一个对应的余子式（记作Mij）和代数余子式（记作Aij），因此有通式Aij=(-1)^(i+j) Mij。
故要求余子式等于代数余子式（Aij=Mij）的个数，即是求（i+j）这个和为偶数的个数。下面分类讨论即可。
① n为奇数时，个数为P(2,(n+1)/2)+P(2,(n-1)/2)+n=1/2（n^2+1） (其中排列符号P中的2为上标，(n+1)/2和(n-1)/2为下标)；
② n为偶数时，个数为2*P(2,n/2)+n=1/2 n^2 (其中排列符号P中的2为上标，n/2为下标)；

综上总结，n阶行列式当n为奇数时，余子式等于代数余子式有1/2（n^2+1） 个；n阶行列式当n为偶数时，余子式等于代数余子式有1/2 n^2个（可自行验算，比如3阶行列式有5个相等的，4阶行列式有8个相等的，5阶行列式有13个相等的）。

追问

错 看清楚问题