如何利用反证法证明“若二次型正定，则二次型对应标准型的系数全为正”？
如何利用反证法证明“若二次型正定，则二次型对应标准型的系数全为正”？请给出详细证明，同济五版《线性代数》给出的证明没看懂。。谢谢刘老师！...
如何利用反证法证明“若二次型正定，则二次型对应标准型的系数全为正”？请给出详细证明，同济五版《线性代数》给出的证明没看懂。。谢谢刘老师！
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证明: 设二次型f=X'AX经可逆变换X=CY化为标准形f=a1y1^2+...+anyn^2.
假如标准型中的系数不全为正
不妨设a1<=0.
令 Y=(1,0,0,...,0)^T≠0
则由于C可逆, 所以 X=CY≠0
此时有 f=X'AX=a1<0
这与二次型f正定矛盾
所以二次型对应标准型的系数全为正.
假如标准型中的系数不全为正
不妨设a1<=0.
令 Y=(1,0,0,...,0)^T≠0
则由于C可逆, 所以 X=CY≠0
此时有 f=X'AX=a1<0
这与二次型f正定矛盾
所以二次型对应标准型的系数全为正.
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