Question

如何判断函数的极值点和最值点？

Answer 1

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆<0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。