Question

在三角形abc中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)，判断三角形的形状。

Answer 1

可以用正弦、余弦定理慢慢化，即把sinA,sinB,sinC,cosA,cosB都化成边来求解，也可以：
sinA+sinB=sin(B+C)+sin(A+C)=sinB*cosC+sinC*cosB+sinA*cosC+sinC*cosA , 左右两边消去得
（sinA+sinB）cosC=0. 得三角形为直角三角形。

Answer 2

sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)
左方
sinA+sinB
=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=2sin[(180-C)/2]cos[(A-B)/2]
=2sin(90-C/2)cos[(A-B)/2]
=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]
右方
sinC(cosA+cosB)
=sinC{2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=2sinCcos[(180-C)/2]cos[(A-B)/2]
=2sinCcos(90-C/2)cos[(A-B)/2]
=2sinCsin(C/2)cos[(A-B)/2]
所以
2cos(C/2)cos[(A-B)/2]=2sinCsin(C/2)cos[(A-B)/2]
cos(C/2)=sinCsin(C/2)
cos(C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)sin(C/2)
2[sin(C/2)]^2*cos(C/2)-cos(C/2)=0
cos(C/2){2[sin(C/2)]^2-1}=0
cos(C/2)=0或2[sin(C/2)]^2-1=0
C/2=π/2 (舍去) 或 C/2=π/4，(因0<C<π，则0<C/2<π/2)
所以C=π/2
所以三角形是直角三角形

Answer 3

即sinA/sinC+sinB/sinC=cosA+cosB
a/c+b/c=(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac
所以2a²b+2ab²=ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³
ab(a+b)=c²(a+b)-(a+b)(a²-ab+b²)
c²=a²+b²
直角三角形