Question

高中数列题。第二问怎么做?

Answer 1

(1) a(n+1)=f(1/an)=(2/an+3)/(3/an)=(3an+2)/3=an+2/3
a1=1
an=1+2(n-1)/3=(2n+1)/3
(2) ana(n+1)=(2n+1)(2n+3)/9=4/9*n^2+8/9*n+1/3
Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+...+a(2n-1)a2n-a2na(2n+1)
=4/9*(1^2-2^2+3^2-4^2+...-(2n)^2)+8/9*(1-2+3-4+...-2n)
=4/9*(-n)(2n+1)+8/9*(-n)
=-4n(2n+3)/9
(3) bn=1/a(n-1)an=9/(2n-1)(2n+1)=9/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn=9/2*[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]=9n/(2n+1)
Sn=9n/(2n+1)<(m-2002)/2对一切n属于N^+成立
m>18n/(2n+1)+2002=(18n+9-9)/(2n+1)+2002=2011-9/(2n+1)对一切n属于N^+成立
所以最小正整数m=2011

Answer 2

（1）a1=1，a2=f(1)=5/3，a3=f(3/5)=7/3，a4=f(3/7)=3，数列an为首项为1，公差2/3的等差数列，通项公式：an=(2n+1)/3；
（2）Tn=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+┈┈+a2n[(a2n-1)-a(2n+1)]，a1-a3=a3-a5=┈┈=(a2n-1)-a(2n+1)=-4/3，则Tn=-4(a2+a4+┈┈+a2n)/3，a2+a4+┈┈+a2n是首项为5/3，公差4/3的等差数列，通项公式：a2n=(4n+1)/3，则a2+a4+┈┈+a2n=[5/3+(4n+1)/3]n/2=(2n+3)n/3，Tn=-(8n²+12n)/9；
（3）bn=9/(4n²-1)=9[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2，Sn=9[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+┈┈+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2=9n/(2n+1)=9/2-9/(4n+2)，当n=1时，Sn有最小值3，当n→∞时，Sn→9/2，即Sn<9/2，Sn<(m-2003)/2对一切n∈N+恒成立，则m-2003)/2≥9/2，m≥2012，最小正整数为2012.