一道初三数学题。
已知:在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC=5,AD=3.5,sinB=4/5,点E是AB边上一点,BE=3,点P是BC边上的一边点,联结EP,作∠EPF,使得∠EP...
已知:在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC=5,AD=3.5,sinB=4/5,点E是AB边上一点,BE=3,点P是BC边上的一边点,联结EP,作∠EPF,使得∠EPD=∠B,射线PF与AD边交于点F,与CD的延长线交于点G,设BP=X,DF=y
(1)求BC的长
(2)试求y关于X的函数关系式,并写出定义域;
(3)联结EF,如果△PEF是等腰三角形,试求BP的长。
图:
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6个回答
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第一问很好做。等腰梯形。过A,D点做高,得BC=AD+AB*COSB*2=9.5
第二问,题目条件该是∠EPF=∠B吧?
∠EPB+∠EPF+∠GPC=∠EPB+∠B+∠BEP=180°推出∠BEP=∠GPC推出三角形BEP相似于三角形CPG
然后得BE/CP=BP/CG推出3/(9.5-X)=X/CG
又三角形GFD相似于三角形GPC,得FD/PC=GD/GC推出Y/(9.5-X)=(CG-5)/CG
消掉CG,得Y=9.5-X-15/X,因为Y≥0,解一元二次方程X2-9.5X+15≤0,X∈(2,7.5)
第三问,
(1)如果PE=PF 由上面所得相似可知,如果过F做DC平行线交底边于H,则三角形PEB全等于三角形FPH 则有EB=PH=3 BP =FH=DC=5
(2)如果PE=EF,同作FH平行DC,则三角形PEB相似于三角形FPH。
有FP/PE=FH/PB,又PE=EF,过E点做高,可得FP/PE=2SIN∠EPF=2COS∠B=6/5
FH=DC=5。则5/X=6/5,X=25/6
(3)如果PF=EF。同理
FP/PE=1/(2COS∠EPF)=5/6,5/X=5/6,X=6
第二问,题目条件该是∠EPF=∠B吧?
∠EPB+∠EPF+∠GPC=∠EPB+∠B+∠BEP=180°推出∠BEP=∠GPC推出三角形BEP相似于三角形CPG
然后得BE/CP=BP/CG推出3/(9.5-X)=X/CG
又三角形GFD相似于三角形GPC,得FD/PC=GD/GC推出Y/(9.5-X)=(CG-5)/CG
消掉CG,得Y=9.5-X-15/X,因为Y≥0,解一元二次方程X2-9.5X+15≤0,X∈(2,7.5)
第三问,
(1)如果PE=PF 由上面所得相似可知,如果过F做DC平行线交底边于H,则三角形PEB全等于三角形FPH 则有EB=PH=3 BP =FH=DC=5
(2)如果PE=EF,同作FH平行DC,则三角形PEB相似于三角形FPH。
有FP/PE=FH/PB,又PE=EF,过E点做高,可得FP/PE=2SIN∠EPF=2COS∠B=6/5
FH=DC=5。则5/X=6/5,X=25/6
(3)如果PF=EF。同理
FP/PE=1/(2COS∠EPF)=5/6,5/X=5/6,X=6
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BC的长度很容易。过A和D两点向BC做垂线,交于M,N两点。根据sinB=0.8可以算出BM=MN=NC=3,所以BC=9
后面的条件是不是给错了?如果角EPD=角B,那么P是一个固定的点,第二问就不存在了。
如果条件是角EPF=角B,则第二问的做法如下
观察三角形BEP,角EPC是三角形的外角,等于两不相邻内角和,根据已知条件可以得出角CPF=角BEP,根据等腰梯形特点,角B=角C,所以三角形BEP与三角形CPG相似;利用平行可以证明三角形CPG与三角形DFG相似,再利用边之间的比例关系可以求出x与y的关系
后面的条件是不是给错了?如果角EPD=角B,那么P是一个固定的点,第二问就不存在了。
如果条件是角EPF=角B,则第二问的做法如下
观察三角形BEP,角EPC是三角形的外角,等于两不相邻内角和,根据已知条件可以得出角CPF=角BEP,根据等腰梯形特点,角B=角C,所以三角形BEP与三角形CPG相似;利用平行可以证明三角形CPG与三角形DFG相似,再利用边之间的比例关系可以求出x与y的关系
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1、bc=3.5+3+3=9.5
2、bp=x 所以pc=9.5-x FD平行于PC 所以FD/PC = GD/GC 又DC=5 GC=GD+5 所以刚才的等式写为
y/(9.5-x) = (GC-5)/GC
又等腰梯形∠B=∠C 题目给出∠EPF=∠B 由三角形外角公式得到∠GPC=∠PEB 所以△PEB∽△GPC 又可写出一组等比:BP/GC =BE/PC
即x/GC = 3/(9.5-x)
将两个等式变形消去GC可得y=9.5-x-(x/15)
3、如果PE=PF 由上面分析可得如果过F做DC平行线交底边于H,则△PEB全等于△FPH 则有EB=PH=3 BP =FH=DC=5
2、bp=x 所以pc=9.5-x FD平行于PC 所以FD/PC = GD/GC 又DC=5 GC=GD+5 所以刚才的等式写为
y/(9.5-x) = (GC-5)/GC
又等腰梯形∠B=∠C 题目给出∠EPF=∠B 由三角形外角公式得到∠GPC=∠PEB 所以△PEB∽△GPC 又可写出一组等比:BP/GC =BE/PC
即x/GC = 3/(9.5-x)
将两个等式变形消去GC可得y=9.5-x-(x/15)
3、如果PE=PF 由上面分析可得如果过F做DC平行线交底边于H,则△PEB全等于△FPH 则有EB=PH=3 BP =FH=DC=5
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过点A作AH⊥BC交BC于点H.
∵△ABH是Rt三角形,AB=5, sinB=4/5
∴AH=4,BH=3
∴BC=3×2+3.5=9.5
⑵∵∠EPB+∠EBF+∠FPC=180°
∠PGD+∠C+∠GPC=180°
又∵∠EBF=∠B=∠C
∴∠EPB=∠PGD
∵∠EPB=∠PGD, ∠B=∠GDF
∴△GFD∽△PEB
∴
即 ①
∵△GFD∽△GPC
∴
即 ②
化简①②得
∵△ABH是Rt三角形,AB=5, sinB=4/5
∴AH=4,BH=3
∴BC=3×2+3.5=9.5
⑵∵∠EPB+∠EBF+∠FPC=180°
∠PGD+∠C+∠GPC=180°
又∵∠EBF=∠B=∠C
∴∠EPB=∠PGD
∵∠EPB=∠PGD, ∠B=∠GDF
∴△GFD∽△PEB
∴
即 ①
∵△GFD∽△GPC
∴
即 ②
化简①②得
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BC=2ABcosB+AD=2*5*3/5+3.5=9.5
你确定是∠EPD=∠B而不是∠EPF=∠B???
你确定是∠EPD=∠B而不是∠EPF=∠B???
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答:兄弟,你的题应该有误,角EPD=角B 这个条件有问题,如果是这样,连接PD,因为这两个角相等,AB就平行于DP,BP就等于AD等于3
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