Question

一道数列题 求看看

Answer 1

1.
a(n+1)=an +1/[n(n+1)] +1=an +1/n -1/(n+1) +1
[a(n+1) +1/(n+1)]-(an +1/n)=1，为定值
a1 +1/1=0+1=1
数列{an +1/n}是以1为首项，1为公差的等差数列
an +1/n=1+1·(n-1)=n
an=n- 1/n
数列{an}的通项公式为an=n- 1/n
2.
an/n=(n -1/n)/n=1- 1/n²
Sn=1- 1/1²+ 1-1/2²+...+1- 1/n²
=n-(1/1²+1/2²+...+1/n²)
<n-[1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/n(n+1)] (此步用到了放缩)
=n-[1- 1/2 +1/2 -1/3+...+1/n -1/(n+1)]
=n-[1- 1/(n+1)]
=n- n/(n+1)
=[n(n+1)-n]/(n+1)
=n²/(n+1)
Sn<n²/(n+1)，不等式成立。

追问

厉害