Question

如图①平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B的坐标为(0,1),且角BAO=30°。

(1)求AB的长度；
(2)如图②以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线交AB的垂线AD于点D，求证：BD=OE。
（3）如图③在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求证：F为DE的中点。
图一
图二

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Answer 1

1、∵OB=1，∠BAO=30°，∠BOA=90°
∴AB=2OA=2
2、连接OD
∵MN是OA的垂直平分线，AD⊥AB即∠BAD=90°，∠BAO=30°
∴AD=OD，∠OAD=∠BAD-∠BAO=90°-30°=60°
∴△ADO是等边三角形
∴AD=OD=OA
∵△ABE是等边三角形
∴AB=AE，∠BAE=60°
∴∠EAO=∠BAE+∠BAO=60°+30°=90°
∴∠EAO=∠BAD
在△ABD和△AEO中
AB=AE，AD=OA，∠EAO=∠BAD
∴△ABD≌△AEO(SAS)
∴BD=OE
3、由（1）AB=2，OB=1得：OA=√3
由（2）得OA=AD=√3
做DG∥AB交EA的延长线于G
∴∠DGA=∠BAE=60°
由（2）∠EAO=90°，∠OAD=60°得：∠DAG=∠OAG-∠OAD=∠EAO-∠OAD=90°-60°=30°
∴∠ADG=180°-∠DAG-∠DGA=180°-30°-60°=90°
∴在Rt△ADG中
DG=1/2AG，AG²=DG²+AD²
AG²=(1/2AG)²+(√3)²
3/4AG²=3
AG=2
∵由（1）和（2）AB=AE=2，得AE=AG
∴G是EG的中点
由DG∥AB，根据中位线逆定理
得F是DE的中点