高数关于不定积分的一个小问题?

绿框那些分子是怎么得到的?求解答,感谢!!!... 绿框那些分子是怎么得到的?求解答,感谢!!! 展开
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vdakulav
2023-02-10 · TA获得超过1.5万个赞
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思路:

若要该不定积分可求,必须将分式:(3x+6)/(x-1)²(x²+x+1)分解成单因式之和的方式

分析该因式的分母,(x-1)²有重根(x=1),因此,可以分解成:A/(x-1)+B/(x-1)²的形式;

(x²+x+1)只有复根(x=-1/2±√3i/2),因此只能分解成:(Cx+D)/(x²+x+1)的形式

综合:(3x+6)/(x-1)²(x²+x+1) = A/(x-1)+B/(x-1)² +(Cx+D)/(x²+x+1)

上述运用了部分分式基本原则!

根据留数法:

可以得出:A=-2,B=3,C=2,D=1

追问
感谢你的回答!我还有一个问题:对等式两边同时求导后,两边还会相等吗?
追答

求导的本质是,增量极限,等式两边求导是否相等的前提条件可以等价于增量极限是否相等,因此从这个角度分析,一定满足极限的四则运算法则,也就是说:
当等式两边的极限都存在时,两边求导必选相等!


tllau38
高粉答主

2023-02-10 · 关注我不会让你失望
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let
(3x+6)/[(x-1)^2.(x^2+x+1)]≡A/(x-1)+B/(x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+1)
=>
3x+6≡A(x-1)(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
x=1, => B=3
3x+6≡A(x-1)(x^2+x+1)+3(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
两边求导
3≡A(x^2+x+1)+A(x-1)(2x+1)+3(2x+1)+2(Cx+D)(x-1) +C(x-1)^2
x=1
3A+9 =3
A=-2
3x+6≡-2(x-1)(x^2+x+1)+3(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
coef. of x^3
-2+C=0
C=2
coef. of constant
2+3+D =6
D=1
ie
(3x+6)/[(x-1)^2.(x^2+x+1)]≡-2/(x-1)+3/(x-1)^2+(2x+1)/(x^2+x+1)
追问
第一句“(3x+6)/[(x-1)^2.(x^2+x+1)]≡A/(x-1)+B/(x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+1)”,请问为什么两个式子之间可以用恒等于号联立啊?
追答
这是 partial fractional decomposition 部分分数分解
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