Question

已知椭圆C中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M（1，3/2）。F为其左焦点。

(1)求椭圆C的标准方程（2）过左焦点F的直线l与椭圆交于A、B两点，当AB绝对值=18/5时，求直线l的方程

Answer 1

你好：
（1）。由长轴长为焦距的2倍得：a=2c
联立a^2=b^2+c^2
有：b^2=3/4*a^2
设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
因为过点M（1，3/2）。
有：1/a^2+9/(4b^2)=1联立b^2=3/4*a^2，得：a^2=4,b^2=3
所以：椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1
(2).设直线方程为：y=k(x+1)，带入椭圆方程中有：
3x^2+4[k(x+1)]^2=12
即是：(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)。由韦达定理：
x1+x2= -8k^2/(3+4k^2) x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2)
所以：|AB|=√{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]}=.....=12(1+k^2)/(3+4k^2)=18/5
解得：k=±√2/2
所以直线方程为：y=±√2/2(x+1)
回答完毕，谢谢！

Answer 2

已知椭圆C中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，
a=2b
设椭圆方程为
x^2/4b^2+y^2/b^2=1
且过点M（1，√3/2）。代入，得
1/4b^2+3/4b^2=1 4b^2=4 b^2=1 a^2=4
(1) 椭圆C的标准方程 x^2/4+y^2=1
(2) 左焦点F(-√3,0)
设过左焦点F的直线l为y=k(x+√3)
椭圆方程 x^2+4y^2=4
消y得
(1+4k^2)x^2+8√3kx+12k^2-4=0
x1+x2=-8√3k/(1+4k^2) x1x2=(12k^2-4)/(1+4k^2)
弦长公式|AB|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[192k^2/(1+4k^2)^2-16(3k^2-1)/(1+4k^2)]
=4(k^2+1)/(1+4k^2)
=8/5
k=±1
所求直线l的方程为y=x+√3或y=-x-√3

Answer 3

所以直线L的方程为：
y=√2/2x-√2/2
或y=-√2/2x+√2/2