Question

已知函数f(x)对任意实数p.q都满足f(p+q)=f(p）*f(q),且f(1)=1/3

1,当n属于正整数，求f(x)的表达式，
2设an=nf(n),Sn是数列an的前n项和，求证Sn<3/4
3设bn=nf(n+1)/f(n),数列bn的前n项和为Tn,试比较1/T1+1/T2+1/T3+...+1/Tn与6的大小

Answer 1

1、因为函数f(x)对任意实数p.q都满足f(p+q)=f(p）*f(q),令p=1,q=1,那么
f(1+1)=f(2)=f(1)*f(1)=(1/3)^2
令p=2,q=1,那么f(2+1)=f(3)=f(2)*f(1)=(1/3)^3
归纳总结f(x)=(1/3)^x,f(n)=(1/3)^n

Answer 2

解：1) f(1)=1/3,
=> f(2)=f(1)×f(1)=(1/3)^2,
=> f(3)=f(1)×f(2)=(1/3)^3,
=> f(4)=f(1)×f(3)=(1/3)^4,
……
=> f(n)=f(1)×f(n-1)=(1/3)^n
2) an=n/3^n,
=> Sn=1/3+2/3^2+3/3^3+4/3^4+……+n/3^n, (1)
=> Sn/3= 1/3^2+2/3^3+3/3^4+……+(n-1)/3^n+n/3^(n+1), (2)
(1)-(2)得,
2Sn/3=1/3+1/3^2+1/3^3+……+1/3^n-n/3^(n+1)
<1/3+1/3^2+……+1/3^n=(1/3)×(1-1/3^n)/(1-1/3)=(1-1/3^n)/2,
=> Sn<(3/2)×(1-1/3^n)/2=3/4(1-1/3^n)<3/4,
=> Sn<3/4
(3)bn=nf(n+1)/f(n)=n·(1/3)^(n+1)/(1/3)^n=n/3,所以Tn=n(n+1)/6,1/T1+1/T2+…+1/Tn=6[1/1×2+1/2×3+…+1/n(n+1)]=6(1/1-1/2+1/2-1/3+…-1/n+1)=6n/(n+1)＜6

Answer 3

两边取对数，令p=n，q=1令g(n)=lnf(n)，则g(n)是等差数列，求了g(n)再求f(n)

Answer 4

aa