Question

怎么证明两个有线维线性空间同构的充要条件是有相同的维数？

Answer 1

设 $V$ 和 $W$ 是两个有限维线性空间，$n=\dim V$，$m=\dim W$。
充分性：
设 $T: V \rightarrow W$ 是线性映射，且 $T$ 是同构。则 $T$ 是单射，故 $\ker T = {\boldsymbol{0}}$。因为 $\dim V = n$，所以 $\dim \ker T = n - \operatorname{rank} T$。又因为 $\operatorname{rank} T = \dim \operatorname{im} T$，所以 $\dim W = \dim \operatorname{im} T + \dim \ker T = \operatorname{rank} T + n - \operatorname{rank} T = n$。因此，$n=m$。
必要性：
设 $V$ 和 $W$ 是两个同维数的有限维线性空间，$n=\dim V = \dim W$。则 $V$ 和 $W$ 中都存在一组基 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_n$ 和 $\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\ldots,\boldsymbol{w}_n$。由于 $n$ 相同，我们可以考虑定义一个线性映射 $T: V \rightarrow W$，使得 $T(\boldsymbol{v}_i) = \boldsymbol{w}_i$。容易验证 $T$ 是一个同构映射。因此，存在一个同构映射 $T$，使得 $V$ 和 $W$ 同构。