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p(n), p(n), p(n+1), p(n+2).
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证明:设p[1],...,p[n]是正交向量组。
假设p[1],...,p[n]线性相关,则存在不全为0的实数k[1],...,k[n]使
k[1]p[1]+...+k[n]p[n]=0。
对任意i=1,...,n,等式两边同乘以p[i]^T,有
k[1]p[i]^Tp[1]+...+k[n]p[i]^Tp[n]=0。
由正交向量组的定义,当j≠i时,p[i]^Tp[j]=0,且p[i]^Tp[i]>0,因此
k[i]p[i]^Tp[i]=0,即k[i]=0。
注意以上推导对任意i=1,...,n都成立,因此
k[1]=...=k[n]=0,
这与k[1],...,k[n]不全为0矛盾!
所以p[1],...,p[n]线性无关。
假设p[1],...,p[n]线性相关,则存在不全为0的实数k[1],...,k[n]使
k[1]p[1]+...+k[n]p[n]=0。
对任意i=1,...,n,等式两边同乘以p[i]^T,有
k[1]p[i]^Tp[1]+...+k[n]p[i]^Tp[n]=0。
由正交向量组的定义,当j≠i时,p[i]^Tp[j]=0,且p[i]^Tp[i]>0,因此
k[i]p[i]^Tp[i]=0,即k[i]=0。
注意以上推导对任意i=1,...,n都成立,因此
k[1]=...=k[n]=0,
这与k[1],...,k[n]不全为0矛盾!
所以p[1],...,p[n]线性无关。
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