Question

f(x)=x^4-x-2=0在1.5附近的实根，要求有四位准确有效数字，用牛顿法

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Answer 1

f'(x)=4x^3-1
注意理解牛顿法的原理。在平面直角坐标系上画出y=f(x)的草图，过点(x(i),f(x(i)))作切线，交y轴于点(x(i+1),0)，然后计算y(i+1)=f(x(i+1))，看其是否在误差允许范围内，如果不在，继续此迭代过程；如果在允许误差范围内，则中止迭代，以x(i+1)为近似解。
需要计算出x(i+1)与x(i)的迭代式。
点(x(i),f(x(i)))处的切线斜率为f'(x(i))，则切线方程为：
y=f'(x(i))*(x-x(i))+f(x(i))
令y=0解得
x=x(i)-f(x(i))/f'(x(i))
也即，迭代式为：
x(i+1)=x(i)-f(x(i))/f'(x(i))
然后计算y(i+1)=f(x(i+1))
一般而言，只要初值取在某个根附近，牛顿法经多次迭代后必收敛于该根，而且收敛速度必单纯的迭代法要快很多。
在此，迭代式为：
x(i+1)=x(i)-[x(i)^4-x(i)-2]/[4x(i)^3-1]
y(i+1)=x(i+1)^4-x(i+1)-2
取初值1.5，在Excell中可得迭代结果如下：
i xi f(xi) f'(xi)
1 1.5 1.5625 12.5
2 1.375 0.199462891 9.3984375
3 1.353777016 0.005057023 8.924334658
4 1.35321036 3.5299E-06 8.911877676
5 1.353209964 1.72395E-12 8.911868972
6 1.353209964 0 8.911868972
7 1.353209964 0 8.911868972
8 1.353209964 0 8.911868972
9 1.353209964 0 8.911868972
可见，迭代五次既得精确到小数点后四位数字的近似解：x≈1.3532
事实上可以看出其精确到小数点后九位数字的近似解是：1.353209964