Question

请教大家一个数学问题

计算
请写出具体过程

Answer 1

2010/1-2009/2=2011/2
2008/3-2007/4=2011/(3×4)
2006/5-2005/6=2011/(5×6)
.....
2/2009-1/2010=2011/(2009×2010)
前面式子=2011×(1/2+1/(2×4)+...+1/(2009×2010))=2011×(1/2+1/3-1/4+1/5-...+1/2009-1/2010)
而1/2+1/3-1/4+1/5-...+1/2009-1/2010其实等于1/1006+1/1007+...+1/2010，(这个最后证一下)
所以全式=(2011+1)/1006+(2011+3)/1007+...+(2011+2009)/2010=2×1005=2010。

为什么1/2+1/3-1/4+1/5-...+1/2009-1/2010=1/1006+1/1007+...+1/2010呢？
首先我们可以把两边都有的1/1007+1/1009+1/1011+...+1/2009约去，
1/503-1/1006=1/1006;
1/63-1/126-1/252-1/504-1/1008=1/1008;
可以看到右边每一项都可以由左边几项合成直到1/1005-1/2010=1/2010。
而这时右边都约去了，那左边呢？答案是也都约去了，因为左边任找一项，都可以推出其和另些项组合可以得到右边分母为偶数的一项。
我说的有点复杂，如果你懂归纳法的话，这个就非常好证了。

希望尽快采纳

Answer 2

把这个式子分为两部分A+B

A=2010/1-2009/2+2008/3-2007/4+2006/5-2005/6+............+2/2009-1/2010
B=1/1006+3/1007+5/1008+..........+2009/2010
2010/1-2009/2=2011/(1×2)
2008/3-2007/4=2011/(3×4)
2006/5-2005/6=2011/(5×6)
.....
2/2009-1/2010=2011/(2009×2010)

A=2011×[1/(1×2)+1/(3×4)+...+1/(2009×2010)]
=2011×(1-1/2+1/3-1/4+1/5-...+1/2009-1/2010)
=2011×(1/1006+1/1007+...+1/2010)（这一步下面来证明）

证明：
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+……+1/2009-1/2010
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+……+1/2009+1/2010)-2*(1/2+1/4+1/6+......+1/2010)
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....+1/1005)+(1/1006……+1/2009+1/2010)-(1+1/2+1/3+......+1/1005)
=1/1006+1/1007+1/1008+......+1/2010

A+B=(2011+1)/1006+(2011+3)/1007+...+(2011+2009)/2010
=2012/1006+2014/1007+..........+4020/2010
=2+2+2.........+2（一共有1005个2相加）
=2×1005
=2010

Answer 3

解：
把这个式子分为两部分A+B
A=2010/1-2009/2+2008/3-2007/4+2006/5-2005/6+............+2/2009-1/2010
B=1/1006+3/1007+5/1008+..........+2009/2010
2010/1-2009/2=2011/(1×2)
2008/3-2007/4=2011/(3×4)
2006/5-2005/6=2011/(5×6)
.....
2/2009-1/2010=2011/(2009×2010)

A=2011×[1/(1×2)+1/(3×4)+...+1/(2009×2010)]
=2011×(1-1/2+1/3-1/4+1/5-...+1/2009-1/2010)
=2011×(1/1006+1/1007+...+1/2010)（这一步下面来证明）

证明：
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+……+1/2009-1/2010
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+……+1/2009+1/2010)-2*(1/2+1/4+1/6+......+1/2010)
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....+1/1005)+(1/1006……+1/2009+1/2010)-(1+1/2+1/3+......+1/1005)
=1/1006+1/1007+1/1008+......+1/2010

所以：
A+B=(2011+1)/1006+(2011+3)/1007+...+(2011+2009)/2010
=2012/1006+2014/1007+..........+4020/2010
=2+2+2.........+2（一共有1005个2相加）
=2×1005
=2010