Question

已知f(x)的图像与g(x)=(1/4)^x的图像关于直线y=x对称，那么f（2x-x2）的单调递减区间是

已知f(x)的图像与g(x)=(1/4)^x的图像关于直线y=x对称，那么f（2x-x2）的单调递减区间是 过程？答案（0，1]

Answer 1

f(x)的图像与g(x)=(1/4)^x的图像关于直线y=x对称

f(x)=log1/4(x)
f(2x-x²)=log1/4(2x-x²)
u=2x-x²=-(x-1)²+1>0 |x-1|<1 0<x<1
∵log1/4(u)是单调递减函数
∴f(u)的单调递减区间为：（0,1）

追问

答案为（0,1]，反函数没有学过

追答

指数函数和对数函数互为反函数。反函数关于y=x对称。
我纠正一下我上面的解答：
u=-(x-1)²+1是抛物线，开口向下，对称轴x=1的左边为单调递增区间，即x<=1时，f(2x-x²)=log1/4(2x-x²)为单调递减区间。

Answer 2

f(x)为g(x)的反函数，即f(x)=log_(1/4) x = -1/2 log_2 x
f(2x-x^2)= -1/2 log_2 (2x-x^2)
2x-x^2>0且x<=1
所以为（0，1]