Question

设函数f(x)=x|x-a|+b （1）若f（x）是奇函数，求a，b的值

(2) 设常数b<2√2 -3，且对x∈[0,1],f(x)﹤0任意恒成立，求实数a的取值范围.
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Answer 1

(1) 设函数f(x)=x|x-a|+b （1）若f（x）是奇函数，求a，b的值
f(x)是奇函数 f(0)=0 则b=0
又 -f(-x)=f(x) 则 f(-x)=-x|-x-a| =-x|x-a|
对于任意的非零的x 有|x+a|= |x-a|
于是a=0

Answer 2

(1)f(0)=0.b=0.又f（1）+f(-1)=0,a=0

（2）
a《1
f<x>=x|x-a|+b=x(x-a)+b
f<1>=1-a+b<0
f<0>=b<0 得 1≥a≥2√2-3

1<a《2

f<x>=-x^2+ax+b<0 对称轴 1/2<x=a/2<1
f<x>max=f<a/2>=a^2+b<0 1- √2<a<√2-1 1<a《√2-1

a>2 f<x>=-x^2+ax+b<0 对称轴 x=a/2>1
f<x>max=f<0>= b<0 恒成立 a>2

所以 2√2-3《a《√2-1 或a>2