Question

二元函数可导的定义是什么？

Answer 1

把二元函数想像成平面上的函数,则连续需要在各个方向（横的,竖的,斜的）直线上都连续；而对x的偏导数存在只说明函数限制到每条横的直线（y=a）上后作为x的一元函数可导,对y的偏导数存在只说明函数限制到每条竖的直线（x=a）上后作为y的一元函数可导.
最简单的例子：定义二元函数在左半平面取0,右半平面取1,则它在每条竖的直线上都可导（因为是常数）,而在横的直线上不连续（左0右1）,所以它对y的偏导数存在但不连续；类似地,定义二元函数在下半平面取0,上半平面取1,则它对x的偏导数存在但不连续.
即使二元函数对x和y的偏导数都存在,只说明它在所有横的和竖的直线上可导,理论上仍有可能在某条斜的直线上不连续.这种函数没有上面那么容易想,但确实是存在的,一般微积分书上会给出标准的例子：f(x,y)在坐标原点取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).
推广一下,一般的多元函数可以想像成高维空间上的函数,连续需要在各个方向的平面上都连续,而偏导数存在只说明在所有和坐标平面平行的平面上可导－－后者推不出前者. 一元函数不会有这种问题,因为直线上只有一种方向