Question

如图三角形abc中,角ABC=3角c,AD是角BAC的角平分线,BE⊥AD于点E,求证:BE=½(AC-AB)

Answer 1

解：延长BE交AC于F。
AE既是∠BAC平分线，又是三角形ABF的高，所以三角形ABF是等腰三角形。
AF=AB，BF=2BE ，∠ABF=∠AFB 。（当然也可以证明三角形ABE全等于三角
形AFE，利用AAS证明）
∠AFB=∠C+∠FDC，∠ABC=∠FDC+∠ABF=∠FDC+∠AFB=∠C+2∠FDC。已知
∠ABC=3∠C，得∠C=∠FDC，所以BF=CF=AC-AF=AC-AB。又因为已证BF=2BE
所以BE=1/2（AC-AB）

Answer 2

延长BE角AC与F，则△ABF为等腰△（Rt△ABE≌Rt△AFE）且AE是BF的中垂线；
∵½∠A＝½（180º－3∠C－∠C）＝90º－2∠C，故∠ABE＝2∠C，∠DBE＝∠C，
BF＝CF(等角对等边）；
∴BE＝½BF＝½CF＝½（AC－AF）＝½（AC－AB）．