Question

高三数学题求解。务必详细

已知椭圆C: x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率e=根号3/2,。O为坐标原点。
（1）.求椭圆C的标准方程；
（2）. 已知P(异于点A)为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线L交椭圆C于D、E两点,求|DE|/|AP|的取值范围。

Answer 1

（1） 右顶点为A(2,0) 知a=2
离心率e=根号3/2 即 c/a=√3/2 得 b/a=1/2 ( 注:c²+b²=a²) 所以b=1
椭圆C的标准方程x²/2²+y²=1

（2）若P点是左顶点(-2,0)，则D,E为上下顶点 |DE|=2b=2 |AP|=2a=4 |DE|/|AP|=1/2
若P点不是左顶点，可设P点坐标为(2cost，sint) ，其中0<t<2π，且 t≠π
AP的斜率为 (sint-0)/[2cost-2]，所以L的斜率为 (2-2cost)/sint
L的方程为y= [(2-2cost)/sint]x,带入椭圆方程得 x²/4+[4(1-cost)²/sin²t]x²=1
可得DE两点的横坐标满足x²=1/[1/4+4(1-cost)²/sin²t]=4sin²t/[sin²t+16(1-cost)²]
=4(1-cos²t)/(1-cos²t+16-32cost+16cos²t)=4(1-cost)(1+cost)/(17-32cost+15cos²t)
=4(1-cost)(1+cost)/[(1-cost)(17-15cost)]=4(1+cost)/(17-15cost)
可知DE关于O点堆成 且|DE|²=4|OD|²=(x²+y²)=4[x²+1-x²/4]=3x²+4=16(5-3cost)/(17-15cost)
|AP|²=(2-2cost)²+sin²t =5-8cost+3cos²t=(1-cost)(5-3cost)
|DE|²/|AP|²=16/ [(1-cost)(17-15cost)] 【注：t=π时也满足次关系】
下面考察g(t)=(1-cost)(17-15cost)=17-32cost+15cos²t的取值范围即可
g(t)=15[cost-16/15]²-1/15 由-1<cost<1知道 0<g(t)<64
所以 |DE|²/|AP|²>16/64=1/4
|DE|/|AP|>1/2
综合P点是左顶点情形知|DE|/|AP|≥1/2